Primeiramente, deixaremos duas proposições e uma definição que auxiliará na demonstração:

Proposição 1. Se $latex f:U\rightarrow R$ é uma função diferenciável em um conjunto aberto $latex U$ de $latex R^{2}$, então o gráfico de $latex f$, isto é, o subconjunto de $latex R^{3}$dado por $latex (x,y,f(x,y))$para $latex (x,y)\in U$, é uma superfície regular $latex \Box$

$latex a\in f(U)$é um valor regular de $latex f:U\subset R^{3}\rightarrow R$ se se somente se $latex f_{x}$, $latex f_{y}$ e $latex f_{z}$, não se anulam simultaneamente em qualquer ponto de $latex f^{-1}(a)$(os pontos de $latex U$que na função $latex f$ valem $latex a$).

Proposição 2. Se $latex f:U\subset R^{3}\rightarrow R$ é uma função diferenciável e $latex a\in f(U)$é um valor regular de $latex f$, então $latex f^{-1}(a)$é uma superfície regular em $latex R^{3}$ $latex \Box$
Agora, a parte “prática”:

Problema: Apresente uma demonstração para a Prop. 1, aplicando a Prop.2 a $latex h(x,y,z)=f(x,y)-z$.

Solução: Tome a função $latex h(x,y,z)=f(x,y)-z$ Como $latex f$ é diferenciável, $latex h$ também é. Temos: $latex h_{x}=f_{x}$, $latex h_{y}=f_{y}$, $latex h_{z}=-1$ Então $latex h_{x}$, $latex h_{y}$ e $latex h_{z}$ não se anulam simultaneamente em qualquer ponto de $latex f^{-1}(0)=\{(x,y,z)\in U/h(x,y,z)=f(x,y)-z=0\}=$ $latex =\{(x,y,z)\in U/f(x,y)=z\}$ Então, 0 é um valor regular de $latex h$. Logo pela prop. 2, $latex f^{-1}(0)=\{(x,y,f(x,y))/(x,y)\in U\}$ é uma superfície regular em $latex R^{3}$ $latex \Box$